dimanche 20 décembre 2015

La multiplication

L'élève est capable de :

  • saisir que la complexité peut être exprimée par des lois fondamentales,
  • connaître le sens de l'opération,
  • connaître la technique élémentaire du calcul mental,
  • connaître les tables de multiplication.



L'an dernier, en reprenant un groupe de CE2, je me suis fait surprendre par un élève qui utilisait un arbre pour résoudre un problème additif alors que tous ses camarades utilisaient la méthode experte de l'addition posée. Au passage, cet élève a eu juste à l'exercice quand certaines erreurs sont apparues pour les autres ... 


Passée ma surprise, je me suis rappelé que les élèves de CE1 passaient par cette étape de l'arbre pour décomposer les calculs. Aussi, cette situation m'a amené à distinguer deux types d'élèves : les lièvres et les tortues.

L'avantage de garder certains élèves deux années de suite, c'est de bien observer les effets des apprentissages mis en oeuvres. Force est de constater que ma tortue en question maîtrise bien mieux les calculs qu'un lièvre que j'ai pu également garder.

Au moment de proposer une étape préalable à la multiplication posée dite "experte", mon lièvre, qui avait pu voir sa grande soeur effectuer des multiplications, a été assez réticent à l'idée d'utiliser une méthode "lente", voulant de suite faire comme les champions du calcul : "mais je sais comment faire, j'ai déjà vu ma grande soeur". De son côté, ma tortue s'est facilement emparée de cette étape préliminaire. Au final, même si mon lièvre semblait présenter au départ des capacités plus importantes en maths, vous vous douterez bien que c'est ma tortue qui se débrouille le mieux aujourd'hui.

Cette étape, c'est simplement la méthode Per Gelosia qui permet de bien comprendre la décomposition du calcul et s'avère souvent rassurante pour les élèves quand il s'agit de résoudre un problème multiplicatif. 

Le sens de la multiplication
Donner du sens à la multiplication, c'est mettre des mots derrières des nombres et des signes. 4 x 7, ça signifie qu'il y a quatre fois sept choses. Dis comme ça, cela paraît évident. Mais pas pour tous les élèves.

J'aimerais savoir rapidement combien il y a de pièces dans ce puzzle ...
Le calcul à réaliser est 15 x 20. Des calculettes sont à la disposition des élèves. Plusieurs techniques sont déployées :
  • Compter un par un chaque pièce du puzzle : très fastidieux et le résultat final est rarement le bon. Un oubli ou un double comptage sont très probable. Et c'est surtout bien trop long !
  • 20 + 20 + 20 + 20 ... On s'approche de l'idée. Il est alors facile de verbaliser "qu'il y a 15 fois 20 pièces".
  • 20 + 15, on se mélange ici dans l'usage du signe. Il convient de verbaliser également "qu'il y a 15 fois 20 pièces". 
  • Et par bonheur, on pourra avoir quelques bonnes réponses.

 Différenciation
On proposera plusieurs supports :
  • Une image du puzzle avec toutes les pièces attachées.
  • Une image du puzzle avec 3 colonnes détachées de l'ensemble pour inciter les élèves à compter le nombre de colonnes de X pièces.
  • Une modélisation du puzzle avec des cubes emboités pour les élèves qui ont besoin de manipuler davantage.
Quand les élèves ont déterminé qu'il y avait des colonnes de 20 pièces, on peut leur demander combien de fois il y a ces colonnes de 20.





Après cette phase de recherche, il est possible de réinvestir la règle multiplicative dans un nouvel exercice (exposé ci-dessous). Beaucoup d'élèves parviennent à transformer 7 groupes de 3 en 7 x 3. Plusieurs noterons 3 x 7. Même si le résultat est le même, on leur fera comprendre la différence entre 3 x 7 et 7 x 3 afin de donner du sens au phrasé de la multiplication. 




Les tables de multiplication
Plusieurs exercices d'entraînement sont à multiplier pour aider à réviser les tables (furet, ...).

Suite de nombres à compléter :
Ci-dessous le résultat des suites de nombres à compléter :

  1. Deux bandes par table sont affichées au tableau.
  2. Les élèves n'ont d'affichés que les nombres en noir.
  3. Grâce à l'entraînement du furet, retrouver les nombres manquants (en rouge).
  4. Déterminer de quelle table il s'agit puis élaborer une règle pour chaque table étudiée.
  5. Associer des bandes deux à deux pour reconstituer la table (photos ci-dessous).

 

Ceintures de calcul :
On peut également utiliser chaque semaine les ceintures de calcul : trouver le plus de résultats de multiplication possible en une minute. Chaque ceinture faisant travailler des tables spécifiques, il sera possible de suivre la progression de chaque élève et de différencier les remédiations et les révisions de chacun.

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Poser la multiplication

Qu'est ce que c'est 3 x 56 ? C'est 3 x 50 et 3 x 6.




Le résultat est donc le total de ces deux multiplications ...



La méthode Per Gelosia met en évidence les deux étapes du calcul. Elle fait également apparaître le 0 quand on multiplie la dizaine, ce 0 qui est souvent oublié quand les élèves font 3 x 5 en oubliant que c'est en fait 3 x 50. Quand on leur dit de décaler leur deuxième calcul, les élèves comprennent alors pourquoi.

Au début de la technique "experte" (posée), ils font au préalable leur tableau puis refont le calcul à côté en le posant. Ils peuvent ainsi retrouver mentalement la décomposition du calcul dans la multiplication enfin posée.


Multiplication à deux chiffres :
43 x 56, c'est (40 + 3) x (50 + 6). Cette décomposition du calcul se fait plus facilement si les élèves ont l'habitude de manipuler ces étiquettes en numération.


On remplit en suivant chaque calcul :



L'addition de chaque nombre donne évidemment le bon résultat.

Cette méthode Per Gelosia sera très souvent utilisée par les élèves, même après avoir travaillé la méthode experte, car c'est une technique qui donne du sens et qui les rassure. Si quelques tortues persistent dans le temps à utiliser ce tableau, où est le problème ? Rien ne sert de courir ... Ils s'empareront de la multiplication posée quand sa maîtrise sera stable. Ma tortue a fini par maîtriser la technique opératoire usuelle avant mon lièvre.


Vers la multiplication posée :

Afin de faire la transition sans perdre le sens du calcul, on garde les étiquettes décomposition :

 

Idem pour les multiplications à deux chiffres. Dans 61 x 24, il est alors facile de faire apparaître chaque étape du calcul pour faire comprendre l'utilisation du 0 dans "6" x 24 :


Quant aux CM1 qui ont appris la multiplication sans passer par le Per Gelosia, ils font facilement un pas en arrière pour maîtriser le calcul.




Atelier autonome

Pinces et mètre de couturier
Trouver un mètre de couturier. Chaque mesure sur le mètre constitue un résultat. On colle ensuite une multiplication sur chaque pince à linge. L'intérêt : montrer aux élèves que, pour une même table (1x7, 2x7, 3x7, 4x7 ...), l'écart entre chaque résultat est régulier. On peut leur demander, au moment de la correction, où pourrait se placer le résultat suivant sur la bande (11 x 7). Si ces résultats sont évidents pour les bons élèves, il permet le faire faire visualiser aux autres.


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